Question

【题目】如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接．则列四个结论：

①；②；③；④．其中正确的结论有：

A.4个B.3个C.2个D.1个

Answer 1

【答案】A

【解析】

①通过证明及对顶角相等即可得到答案；

②根据是边的中点及①中的相似可得可得答案；

③过D作DM∥BE交AC于N，利用平行四边形的性质证明DM垂直平分CF可得答案；

④由①中的相似得到，设，利用母子三角形的性质求出可得答案．

解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，

，

又因为：，

所以：，故①成立，

②因为：E是的中点，所以：，

因为：，

所以：，

设 则，

所以：，所以，故②成立，

③过D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，∴BM=CM， ∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正确；

④因为：，设，则，

所以：，，

因为：，所以：，

所以：，所以④成立；

故选A．