Question

7．如图，在△OAB中，OA=2$\sqrt{5}$，OB=4$\sqrt{5}$，OA⊥OB，以O为圆心，4为半径作⊙O，求证：AB是⊙O的切线．

Answer 1

分析 作OC⊥AB于C，如图，先利用勾股定理计算出AB=10，再利用面积法求出OC=4，而⊙O的半径为4，则根据切线的判定方法可判断AB是⊙O的切线．

解答 解：作OC⊥AB于C，如图，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（2{\sqrt{5}}^{\;}）^{2}+（4\sqrt{5}）^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$OC•AB=$\frac{1}{2}$OB•OA，
∴OC=$\frac{2\sqrt{5}×4\sqrt{5}}{10}$=4，
∵⊙O的半径为4，
∴OC为⊙C的半径，
而OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．