Question

某抛物线是由抛物线y=-2x²向左平移2个单位得到．
（1）求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；
（2）设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B．
①求线段AB的长及直线AB的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出这样的点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y=-2（x+2）²，如图：

（2）①根据（1）得出的抛物线的解析式可得：A点的坐标为（-2，0）；B点的坐标为（0，-8）．
因此在直角三角形ABO中，根据勾股定理可得：AB=2．
设直线AB的解析式为y=kx-8，已知直线AB过A点，
则有：0=-2k-8，k=-4
因此直线AB的解析式为：y=-4x-8；
②存在四个点，C₁（-2，2），C₂（-2，-2），C₃（-2，-16），C₄（-2，-）．
分析：（1）抛物线y=-2x²向左平移2个单位所得的抛物线的解析式应该是y=-2（x+2）²．
（2）①根据（1）得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A和B点的坐标．然后根据A，B两点的坐标即可求出直线AB的解析式．
②本题要分三种情况进行讨论：
一：当AC=BC时，此时C为AB垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B作BD⊥抛物线的对称轴于D，那么在直角三角形BDC中，BD=2（A点横坐标的绝对值），CD=8-AC，而BC=AC，由此可根据勾股定理求出AC=，因此这个C点的坐标为（-2，）．

二：当AB=AC时，此时C点的纵坐标的绝对值即为AB的长，因此C点的坐标为C₁（-2，2），C₂（-2，-2）．
三：当AB=BC时，B点位于AC的垂直平分线上，因此C点的纵坐标为B点的纵坐标的2倍，即C（-2，-16）．
综上所述即可求出符合条件的C点的坐标．

点评：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况等知识点，主要考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．