Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，且圆心O在AB上，弦CD⊥AB于点P，过点D作⊙O的切线交CA的延长线于点M，交BA的延长线于点E，连结CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CM⊥DE，AM=2，求⊙O的半径；
（3）设∠ABC=α，试探究△DEC的内切圆半径r₁与⊙O的半径r₂的比值（用含α的式子表示）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接OC、OD，如图1，根据垂径定理得AD弧=AC弧，则∠AOD=∠AOC，再利用“SAS”证明△ODE≌△OCE，得到∠ODE=∠OCE；而根据切线的性质得∠ODE=90°，所以∠COE=90°，于是根据切线的判定定理即可得到CE为⊙O的切线；
（2）解：连接AD、BD、OD，如图2，根据圆周角定理由AB为直径得到∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，而∠2=∠ODB，∠1+∠ADO=90°，则∠1=∠2，
由圆周角定理得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则可证明Rt△MDA∽Rt△MCD，利用相似比得到MD²=MA•MC；由于AD弧=AC弧，则AD=AC，然后利用方程的思想解决问题：设DM=x，AC=y，则AD=y，MC=2+y，在Rt△MAD中，根据勾股定理得x²+2²=y²，而x²=2（2+y），消去x得到2²+2（2+y）=y²，解得y₁=-2（舍去），y₂=4，所以DM=2

3

，AD=4，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠1=30°，则∠ADO=60°，于是可判断△ADO为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到
OD=AD=4；
（3）如图1，利用切线长定理得到OE平分∠CED，再根据圆周角定理由AB为直径得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠ACP=90°，根据等角的余角相等得∠ACP=∠ABC=α，由（2）的证明方法可得∠ACE=∠ABC=α，即MC平分∠DCE，根据三角形内心的定义得到点A为△CDE的内心，于是得到AP=r₁，在Rt△ACB中，根据正弦的定义得AC=2r₂•sinα，在Rt△APC中，sinα=

r1

2r2•sinα

，然后利用比例的性质即可得到

r1

r2

的值．

解答：（1）证明：连接OC、OD，如图1，
∵弦CD⊥直径AB，
∴AD弧=AC弧，
∴∠AOD=∠AOC，
在△ODE和△OCE中，

OD=OC ∠DOE=∠COE OE=OE

，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ODE=∠OCE，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠COE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：连接AD、BD、OD，如图2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，
而OD=OB，
∴∠2=∠ODB，
∴∠2+∠ADO=90°，
∵∠ODE=90°，即∠1+∠ADO=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，
∴Rt△MDA∽Rt△MCD，
∴DM：MC=MA：MD，即MD²=MA•MC，
∵AD弧=AC弧，
∴AD=AC，
设DM=x，AC=y，则AD=y，MC=2+y，
在Rt△MAD中，x²+2²=y²，
而x²=2（2+y），
∴2²+2（2+y）=y²，
整理得y²-2y-8=0，解得y₁=-2（舍去），y₂=4，
∴x=2

3

，即DM=2

3

，AD=4，
∴∠1=30°，
∴∠ADO=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴OD=AD=4，即⊙O的半径为4；
（3）解：如图1，
∵EC和ED为⊙O的切线，
∴OE平分∠CED，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即∠ABC+∠ACP=90°，
而∠PAC+∠ACP=90°，
∴∠ACP=∠ABC=α，
由（2）可得∠ACE=∠ABC=α，
∴MC平分∠DCE，
∴点A为△CDE的内心，
而AP⊥DC，
∴AP为△DEC的内切圆半径，即AP=r₁，
在Rt△ACB中，sin∠ABC=

AC

AB

，
∴AC=2r₂•sinα，
在Rt△APC中，sin∠ACP=

AP

AC

，
即sinα=

r1

2r2•sinα

，
∴

r1

r2

=2sin²α．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定与性质；会利用三角形全等解决角相等的问题，利用锐角三角函数的定义、三角形相似和勾股定理得到线段之间的数量关系；理解三角形内心的意义．