Question

阅读下文，寻找规律：已知x≠1，观察下列各式：
（1﹣x）（1+x）=1﹣x²，（1﹣x）（1+x+x²）=1﹣x³，（1﹣x）（1+x+x²+x³）=1﹣x⁴…（1）填空：（1﹣x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1﹣x⁸．
（2）观察上式，并猜想：
①（1﹣x）（1+x+x²+…+xⁿ）= _________ ．
②（x﹣1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）= _________ ．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）= _________ ．
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷= _________ ．

Answer 1

解：
（1）由（1﹣x）（1+x）=1﹣x²，
（1﹣x）（1+x+x²）=1﹣x³，
（1﹣x）（1+x+x²+x³）=1﹣x⁴
可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的最大指数，且左边相当于对右边的因式分解，所以得出规律：
（1﹣x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1﹣xⁿ⁺¹．
即：（1﹣x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1﹣x⁸，
空白处应填：（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）．
（2）由（1）得出的规律可得：
①（1﹣x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1﹣xⁿ⁺¹，
空白处应填：1﹣xⁿ⁺¹②（x﹣1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=﹣（1﹣x¹¹）=x¹¹﹣1，
空白处应填：x¹¹﹣1．
（3）由（1）得出的规律可得
①（1﹣2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1﹣2⁶，
空白处应填1﹣2⁶；
②由（1﹣2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷）=1﹣2²⁰⁰⁸
得1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸﹣1，
空白处应填2²⁰⁰⁸﹣1．