Question

2．如图，在?ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE=DF，∠BAF=∠DAE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）设AE交BD于点G，联结GF，当DF²=AD•FC时，求证：GF∥BC．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到∠ABE=∠ADF，由于∠BAF=∠DAE，于是得到∠BAE=∠DAF，推出△ABE≌△ADF，得到AB=AD，即可得到结论；
（2）在?ABCD中，由于AD∥BC，得到△BEG∽△ADG，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{AD}=\frac{BG}{DG}$，根据已知条件得到$\frac{CF}{DF}=\frac{DF}{AD}$，等量代换得到$\frac{CF}{DF}=\frac{BG}{DG}$，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵在?ABCD中，
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠BAE=∠DAF}\\{∠ABE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）在?ABCD中，
∵AD∥BC，
∴△BEG∽△ADG，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BG}{DG}$，
∵DF²=AD•FC，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{DF}{AD}$，
∵BE=DF，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{BG}{DG}$，
∴GF∥BC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．