Question

已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．

（1）在图1中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：

① DC = BC； ②AD+AB=AC．请你证明结论②；

（2）在图2中，若条件改为∠ABC＋∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

 

Answer 1

（1）证明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN

          ∴∠MAC=∠NAC=60°   ∠ACD=30°

          又∵∠ABC＝∠ADC＝90°  AC=AC

          ∴⊿ACD≌⊿ACB （AAS）

      ∴ AD=AB=AC   ∴AD+AB=AC

（2） 仍然成立   …1分

     过C作CE⊥AM于E，作CF⊥AB于F 

     由（1）的证明结论，得到：

CE=CF   AE+AF=AC              …2分

∵∠ABC＋∠ADC＝180°    ∠ADC＋∠1＝180°

∴∠1=∠ABC                     …3分

又∵∠ABC＋∠ADC＝180°   ∠MAN＝120°

∴ ∠DCB=60°               

又∵∠AEC＝∠AFC＝90°   ∠MAN＝120°

∴∠ECF=60°     ∴∠ECF=∠DCB=60°   …5分

∴∠2=∠3    又∵∠AEC＝∠BFC＝90°   CE=CF

∴⊿CED≌⊿CFB （ASA）            

∴DE=BF  CD=CB

∴AD+AB=AD+BF+AF=AD+DE+AF=AE+AF=AC   …8分