Question

如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°，M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．
（1）如图一，若C在线段OB上，且C是OB中点，试判断△CDM形状；（不必写出理由）
（2）如图二，若C在线段OB上，试判断△CDM形状，并说明理由；
（3）如图三，若C在直线OB上，试判断△CDM形状（不必写出理由）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）如图一，由△OBD为等腰直角三角形，C为OB的中点，根据等腰三角形的性质得CD⊥OB，CD平分∠BDO，即∠CDB=45°，于是得到△ABC为等腰直角三角形，而M为AB的中点，根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得到CM⊥AB，CM=AM=BM，于是可判断△CDM为等腰直角三角形；
（2）如图二，由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，则CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性质得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，则∠AMD+∠AMC=2（∠MBD+∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM为等腰直角三角形．
（3）如图三，与（2）的证明方法一样可△CDM为等腰直角三角形．

解答：解：（1）如图一，
∵△OBD为等腰直角三角形，C为OB的中点，
∴CD⊥OB，CD平分∠BDO，
∴∠CDB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴M为AB的中点，
∴CM⊥AB，CM=AM=BM，
∴△CDM为等腰直角三角形；
（2）△CDM为等腰直角三角形．理由如下：如图二，
∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，
而M为AB的中点，
∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，
∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，
∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，
∴∠AMD+∠AMC=2（∠MBD+∠MBC）=2∠OBD=90°，
即∠CMD=90°，
∴△CDM为等腰直角三角形；
（3）如图三，△CDM为等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．