Question

10．观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{4}$，…
（1）直接写出下列式子的计算结果：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$；
（2）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）；
（3）证明你猜想的结论．

Answer 1

分析 （1）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（2）原式利用拆项法变形得到结果；
（3）已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，得到结果与左边相等，得证．

解答 解：（1）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（2）根据题意得：$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）；
（3）右边=$\frac{1}{2}$•$\frac{n+2-n}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=左边，
则$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）．
故答案为：（1）$\frac{n}{n+1}$；（2）$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．