Question

小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：
①作点A关于直线l的对称点A′．
②连接A′B，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：
（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．
①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）
②请直接写出△PDE周长的最小值______．
（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值______．

Answer 1

解：（1）①如图1所示：
②∵点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，
∴DE=3，
∵BC边上的高为4，
∴DD′=4，
∵DD′⊥BC，DE∥BC，
∴DD′⊥DE，
∴ED′==5，
C_△PDE=D′E+DE=5+3=8；
故答案为：8；

（2）如图2，作G关于AB的对称点M，
在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，
接着在EB上截取EF=1，
那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．
∵AB=4，BC=6，G为边AD的中点，
∴DG=AG=AM=3，
∵AE∥DH，
∴=，
∴=，
=，
故AE=1，
∴GE==，
BF=2，CF===2，
CG==5，
∴C_{四边形GEFC}=GE+EF+FC+CG=6+3．
故答案为：6+3．
分析：（1）①利用轴对称作出D点对称点D′，连接D′E即可得出P点坐标，
②要求△PDE周长的最小值求出DP+PE的最小值即可，利用已知由勾股定理求出即可；
（2）利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．
点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，利用GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值得出E，F位置是解题关键．