Question

17．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，且AD⊥DC，AE⊥BE，求证：DE∥BC．

Answer 1

分析 如图，延长AE交BC延长线于F，延长AD交CB延长线于G，构建△AGF的中位线，利用三角形中位线定理来证得结论．

解答 证明：如图，延长AE交BC延长线于F，延长AD交CB延长线于G，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠FEB=90°．
∵在△ABE与△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠FEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=FE，
∴点E是边AF的中点．
同理，△ACD≌△GCD（ASA），
∴AD=GD，
∴点D是边AG的中点．
∴DE是△AGF的中位线，
∴DE∥GF，则DE∥BC．

点评 本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解答该题的难点是通过作辅助线，构建全等三角形，从而推知DE是△AGF的中位线．