Question

锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）
（1）△ABC中边BC上高AD=

 

；
（2）当x=

 

时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）本题利用矩形的性质和相似三角形的性质，根据MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中边BC上高AD的长度．
（2）因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式，
（3）用含x的式子表示矩形MEFN边长，从而求出面积的表达式．

解答：解：（1）由BC=6，S_△ABC=12，得AD=4；

（2）当PQ恰好落在边BC上时，
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴

MN

BC

=

AG

AD

，
即

x

6

=

4-x

4

，x=2.4（或

12

5

）；

（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．
设ME=NF=h，AD交MN于G（如图2）GD=NF=h，AG=4-h．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴

MN

BC

=

AG

AD

，即

x

6

=

4-h

4

，
∴h=-

2

3

x+4．
∴y=MN•NF=x（-

2

3

x+4）=-

2

3

x²+4x（2.4＜x＜6），
配方得：y=-

2

3

（x-3）²+6．
∴当x=3时，y有最大值，最大值是6．

点评：本题结合相似三角形的性质及矩形面积计算方法，考查二次函数的综合应用，解题时，要始终抓住相似三角形对应边上高的比等于相似比，表示相关边的长度．