Question

8．Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为角平分线交AC于点D，过点D作AC的垂线交Rt△ABC的直角边于点E．
当∠A=45°，如图1时，点E和点B重合，易证：AB+BE=$\sqrt{2}$BD．
当∠A＞45°，如图2时，AB、BE、BD是否存在上述数量关系？若存在，请证明：若不存在，请直接写出你的猜想，不必证明；
当∠A＜45°时，如图3时，请直接判断AB、BE、BD是否存在上述数量关系？不需证明．

Answer 1

分析 （1）点E和点B重合时，根据等腰直角三角形的三边关系证明即可；
（2）作DM⊥DB，交BA的延长线于M，根据全等三角形的判定证明即可；
（3）根据分析结论不成立，正确结论为AB-BE=$\sqrt{2}$BD．

解答 证明：点E和点B重合时，
∵∠A=45°，∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BD，
∴AB+BE=$\sqrt{2}$BD；
结论仍成立，作DM⊥DB，交BA的延长线于M，
∵∠ABC=∠MDB=90°，BD是角平分线，
∴∠CBD=∠ABD=∠M=45°，
∴DM=DB，
∵∠C+∠DEC=90°，∠C+∠CAB=90°，
∴∠CDE=∠CAB，
∴∠DEB=∠DAM，
在△DBE与△DMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠M}\\{∠DEB=∠DAM}\\{DM=DB}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DMA（AAS），
∴BE=AM，
∵BM=$\sqrt{2}$BD，
∴AB+BE=$\sqrt{2}$BD；
图3结论不成立，作DM⊥DB，交BA的于M，
∵∠ABC=∠MDB=90°，BD是角平分线，
∴∠CBD=∠ABD=∠DME=45°，
∴DM=DB，
∵∠CDB+∠BDE=90°，∠BDE+∠MDE=90°，
∴∠CDB=∠MDE，
在△DBC与△DME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠DME}\\{DM=DB}\\{∠CDB=∠MDE}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△DME（ASA），
∴DC=DE，BC=ME，
∵BM=$\sqrt{2}$BD，
∴AB-BE=$\sqrt{2}$BD；
正确结论为：AB-BE=$\sqrt{2}$BD．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线构建全等三角形，利用全等三角形的判定进行分析．