Question

9、类比联想：既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形，设△ABC的两条中线BD、CE相交于点G，连接AG并延长交BC于M，作BN∥CE，连接CN，由平行四边形的判定定理可判断出四边形BNCG是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，由角平分线的性质判断出PF=PE即可．

解答：解：（1）如图，设△ABC的两条中线BD、CE相交于点G，连接AG并延长交BC于M，作BN∥CE，连接CN，
∵E是AB的中点，BN∥CE，
∴点G是AN的中点，
∵点D是AC的中点，
∴GD∥CN，
∴四边形BNCG是平行四边形，
∴BC、GN互相平分，即点M是BC的中点，AM是BC的中线，即△ABC的三条中线交于一点；

（2）如图，△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点P，过P作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，
∵AP、BP分别为∠A、∠B的平分线，
∴PF=PD=PE，
∵PF=PE，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴点P在∠C的平分线上，
∴三角形的三个内角的角平分线相交于一点．

点评：本题考查的是三角形的三个角平分线、三条边的中线交于一点的证明过程，是中学阶段必须掌握的知识点．