Question

操作、推理与运算
如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）请完成如下操作：①建立平面直角坐标系，使得B点坐标为（4，4）；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连结AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C______、D______；
②求⊙D的半径（结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面的面积（结果保留π）
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系，并说明你的理由．

Answer 1

解：（1）①如图1所示；

②如图2所示；

（2）①由图可知，C（6，2），D（2，0）．
故答案为：（6，2），（2，0）；

②∵在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
∴AD==2，即⊙D的半径为2；

③在Rt△AOD与Rt△DFC中，
∵，
∴Rt△AOD≌Rt△DFC，
∴∠OAD=∠FDC，∠ADO=∠DCF，
∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠ADO+∠FDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴=π•AD=π×2=π，
设该圆锥的底面的半径为r，则π=2πr，即r=，
∴圆锥的底面的面积S=π×（）²=；

④在△DCE中，
∵CD²=4²+2²=20，CE²=2²+1²=5，DE²=5²=25，
∴CD²+CE²=DE²，
∴△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，
∴直线CE与⊙D相切．
分析：（1）①根据题意建立平面直角坐标系即可；
②连接BC，作弦AB、BC的垂直平分线相交于点D，则点D即为圆弧所在圆的圆心；
（2）①根据点C、D所在的位置得出C、D两点的坐标即可；
②利用勾股定理求出⊙D的半径；
③先求出∠AOC的度数，再设该圆锥的底面半径为r，根据弧长公式求出r的值，进而求出其底面的面积；
④根据勾股定理的逆定理判断出△DCE的形状即可．
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、圆锥的侧面展开图、勾股定理的逆定理等相关知识，难度适中．