已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{4}$x-3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线AC上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，连结CQ．设点P的横坐标为m．分析 （1）由抛物线解析式可求得A、C坐标，利用待定系数法可求得直线AC解析式；
（2）可用m分别表示出P、Q的坐标，则可用m表示出PQ、PC的长，由条件可得到关于m的方程，可求得m的值；
（3）以AC为直径作圆，当∠AQC为钝角时，则点Q应在圆内，结合图象可求得点Q的位置，可求得m的取值范围．
解答 解：
（1）在y=$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{4}$x-3中，
令y=0可得：0=$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{4}$x-3，解得x=-4或x=3，
∴A（-4，0），B（3，0），
令x=0可得y=-3，
∴C（0，-3），
设直线AC解析式为y=kx+b，
把A、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-3；
（2）∵P点在直线AC上，点Q在抛物线上，且P点横坐标为m，
∴P（m，-$\frac{3}{4}$m-3），Q（m，$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{4}$m-3），
∴PQ=|$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{4}$m-3-（-$\frac{3}{4}$m-3）|=|$\frac{1}{4}$m2+m|，
∵C（0，-3），
∴PC=$\sqrt{{m}^{2}+[-\frac{3}{4}m-3-（-3）]^{2}}$=$\frac{5}{4}$|m|，
当△PCQ是∠CPQ为顶角的等腰三角形时，则有PC=PQ，
∴|$\frac{1}{4}$m2+m|=$\frac{5}{4}$|m|，即$\frac{1}{4}$m2+m=±$\frac{5}{4}$m，
当$\frac{1}{4}$m2+m=$\frac{5}{4}$m时，解得m=0或m=1，
若m=0，则P、C重合，舍去，
∴m=1，
当$\frac{1}{4}$m2+m=-$\frac{5}{4}$m时，解得m=-6或m=0（舍去），
∴m=-6，
综上可知存在满足条件的点P，此时m的值为1或-6；
（3）以AC为直径作圆，如图，
当∠AQC为钝角时，则可知点Q在圆内，
∴点Q在线段AC下方的抛物线上，
∴-4＜m＜0，
故答案为：-4＜m＜0．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理、圆周角定理及数形结合思想等知识点．在（1）中求得A、C的坐标是解题的关键，在（2）中用m表示出PQ、PC的长度是解题的关键，在（3）中确定出Q点所在的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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| 与标准质量的差值 （单位：千克） | -3 | -2 | -1.5 | 0 | 1 | 2.5 |
| 筐数 | 1 | 4 | 2 | -1 | 4 | 8 |
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小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小明出发的时间x（分）的函数关系如图．查看答案和解析>>
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已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13．求证：△ACD是直角三角形．