Question

已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，点M为⊙O上一点，且在弦BC下方．
（1）如图①，若∠ABC=60°，BM=1，CM=3，则AM的长为

4

；
（2）如图②，若∠ABC=45°，BM=1，CM=3，则AM的长为

2

2

；
（3）如图③，若∠ABC=30°，BM=1，CM=3，则AM的长为

4 3

3

；
（4）如图④，若∠ABC=n°，BM=a，CM=b，（其中a＜b），求出AM的长（答案用含有a，b及n°的三角函数的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥MC，垂足为E，过点A作AD⊥BM，垂足为D，求出∠ABC=∠AMD=∠AMC，求出AD=AE，证Rt△ADB≌Rt△AEC，Rt△ADM≌Rt△AEM，推出MD=ME，DB=CE，求出DM=ME=2，在Rt△ADM中，解直角三角形求出即可．
（2）在Rt△ADM中，∠AMB=45°，DM=2，解直角三角形求出即可．
（3）在Rt△ADM中，∠AMB=30°，DM=2，解直角三角形求出即可．
（4）在Rt△ADM中，∠AMB=n°，DM=

a+b

2

，解直角三角形求出即可．

解答：解：
（1）过点A作AE⊥MC，垂足为E，过点A作AD⊥BM，垂足为D，
则∠D=∠AEC=90°，∠AEM=90°，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴∠AMD=∠AMC，
∴MA是∠CMD的角平分线，
∴AD=AE，
在Rt△ADB和Rt△AEC中，

AB=AC AD=AE

               
∴Rt△ADB≌Rt△AEC（HL），
∴DB=CE，
同理可证Rt△ADM≌Rt△AEM，
∴MD=ME，
∴DM=ME=

1

2

（DM+ME）=

1

2

（BM+DB+MC-CE）=

1

2

（BM+CM）=

1

2

×（1+3）=2，
∵弧AB=弧AC，
∴∠AMB=∠ABC=60°，
∵∠D=90°，
∴∠DAM=30°，
∴AM=2DM=4，
故答案为：4；
                            
（2）由（1）知：DM=2，
∵∠AMD=∠ABC=45°，
∴AM=

2

DM=2

2

，
故答案为：2

2

；

（3）由（1）知：DM=2，
∵∠AMD=∠ABC=30°，
∴AM=2AD，
由勾股定理得：AD²+2²=（2AD）²，
AD=

2 3

3

，
∴AM=2AD=

4

3

3

故答案为：

4 3

3

；

（4）由（1）知：DM=ME=

1

2

(BM+MC)=

a+b

2

，
在Rt△ADM中，cos∠AMD=

DM

AM

，
∴AM=

DM

cos∠AMD

=

a+b

2cosn°

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，圆周角定理，角平分线性质，解直角三角形，勾股定理的应用，题目具有一定的代表性，证明过程类似．