Question

2．如图，已知正方形ABCD，E为BC延长线上一点，连AE交CD于F，作∠AEG=∠AEB，EG交CD于G连AG，作FH⊥AG于H，连DH．下列说法正确的是（　　）
①GE+GD=BE；②DG=DF；③AC-2HD=$\sqrt{2}$DF；④当CE=BC=2时，FG=$\frac{5}{3}$．

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①③④正确，②错误，作AM⊥EG于M，在AD上截取一点N使得AN=DF，由△AEB≌△AEM得AM=AB，推出△AGM≌△AGD得GD=GM由此可以判断①正确，由△HAN≌△HFD得HN=DH，AD-DF=$\sqrt{2}$HD，由此可以判断③正确，CE=BC=2时，设MG=GD=x，则CG=2+x，GE=4-x，在RT△ECG中利用勾股定理即可求出x，可以判断④正确，②错误可以用反证法推出矛盾即可．

解答 解：作AM⊥EG于M，在AD上截取一点N使得AN=DF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠ADC=∠BAC=90°，
在△AEB和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠B=90°}\\{∠AEM=∠AEB}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEM，
∴AM=AB=AD，BE=EM，
在RT△AGM和RT△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AM=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGM≌△AGD，
∴GD=MG，∠MAG=∠DAG，
∴EM=EG+MG=EG+DG，故①正确，
∵∠AEB=∠AEM=∠EAD，∠MAE+∠AEM=90°，
∴2∠GAD+2∠DAE=90°，
∴∠GAD+∠DAF=45°，
∴∠HAF=90°，
∵FH⊥AG，
∴∠AHF=90°，
∴∠HAF=∠HFA=45°，
∴HA=HF，
∵∠AHF=∠ADF=90°，
∴A、F、D、H四点共圆，
∴∠HAN=∠HFD，∠HDI=∠HFA=45°=∠HDG
在△HAN和△HFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=HF}\\{∠HAN=∠HFD}\\{AN=DF}\end{array}\right.$，
∴△HAN≌△HFD，
∴HN=HD，∠ANH=∠HDF=135°，
∴∠HND=∠HDN=45°，
∴DN=$\sqrt{2}$HD，
∴AD-AN=DN，
∴AD-DF=$\sqrt{2}$HD，
∴$\sqrt{2}$AD-$\sqrt{2}$DF=2HD，
∴AC-$\sqrt{2}$DF=2HD，
∴AC-2HD=$\sqrt{2}$DF，故③正确，
CE=BC=2时，设MG=GD=x，则CG=2+x，GE=4-x，
在RT△ECG中，∵EG²=GC²+CE²，
∴（4-x）²=2²+（2+x）²，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴GF=DF+DG=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$．故④正确．
②错误．若DG=DF，则AG=AF，∠DAG=∠DAF=22.5°，这个显然不可能，故②错误．
∴①③④正确，
故选C．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的思想，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．