Question

如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点
（1）求证：CD=BE，
（2）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
（3）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，AC=AB，
∴AC-AD=AB-AE，
∴CD=BE；

（2）CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∵在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴CD=BE；

（3）△AMN是等边三角形．
理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD．
∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=CN
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∵在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS）．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等边三角形．
分析：（1）利用等边三角形的性质求出AD=AE，AC=AB，即可得出；
（2）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．
（3）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．
点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．