Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）抛物线的解析式为______；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（-1，0），AC=，
∴OA===2，
∴A（0，2）；
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC与△CFB中，
∵，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐标为（-3，1），
故答案为：（0，2），（-3，1）；

（2）∵把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
解得a=，
∴抛物线解析式为：y=x²+x-2．
故答案为：y=x²+x-2；

（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（-，-），
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：
，
解得．
∴BD的关系式为y=-x-．
设直线BD和x 轴交点为E，则点E（-，0），CE=．
∴S_△DBC=××（1+）=；

（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，
过点P₁作P₁M⊥x轴，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCF，∠P₁MC=∠BFC=90°，
∴△MP₁C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P₁M=BF=1，
∴P₁（1，-1）；
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，
过点P₂作P₂N⊥y轴，同理可证△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（2，1），
经检验，点P₁（1，-1）与点P₂（2，1）都在抛物线y=x²+x-2上．
分析：（1）先根据勾股定理求出OA的长，即可得出点A的坐标，再求出OE、BE的长即可求出B的坐标；
（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求出抛物线的解析式；
（3）先求出点D的坐标，再用待定系数法求出直线BD的解析式，然后求出CF的长，再根据S_△DBC=S_△CEB+S_△CED进行计算即可；
（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P₁，使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形△ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，由全等三角形的判定定理可得△MP₁C≌△FBC，再由全等三角形的对应边相等可得出点P₁点的坐标；
②若以点A为直角顶点；则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形△ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，同理可证△AP₂N≌△CAO，由全等三角形的性质可得出点P₂的坐标；点P₁、P₂的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定定理、用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．