Question

【题目】阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．

（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是
（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有　 个（包含四边形ABCD）．
（4）拓展提升：当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）正方形
（2）80°
（3）5
（4）

当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：

四边形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∵∠EB′F=90°，

∴∠A+∠EB′F=180°，

∴A、E、B′、F四点共圆，

∵AE=AF，

∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°．

【解析】（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，
∴AB≠AD，BC≠CD，
∴平行四边形不一定为“完美筝形”；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
∴AB≠AD，BC≠CD，
∴矩形不一定为“完美筝形”；
③∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，
∴菱形不一定为“完美筝形”；
④∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴正方形一定为“完美筝形”；
∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；
所以答案是：正方形；
（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，
∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，
∵∠AEB′+∠BEB′=180°，
∴∠AEB′=∠BCB′，
∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠ECF=40°，
∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；
所以答案是：80；
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；
根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，
∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；
∵四边形ABCD是“完美筝形”，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，
∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，
∴∠OD′E=∠OB′F=90°，
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，
∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°
在△OED′和△OFB′中，

∴△OED′≌△OFB′（AAS），
∴OD′=OB′，OE=OF，
∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；
∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；
所以答案是：5
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．