Question

2．已知$\sqrt{2a+\sqrt{4a-1}}$+$\sqrt{2a-\sqrt{4a-1}}$=$\sqrt{2}$成立，则a的取值范围是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$≤a≤1

Answer 1

分析 将已知式子两边平方，整理得出4a+2|2a-1|=2，要使上式成立，2a-1≤0，解得a≤$\frac{1}{2}$，又在原等式中，4a-1≥0，解得a≥$\frac{1}{4}$，那么$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$．

解答 解：∵$\sqrt{2a+\sqrt{4a-1}}$+$\sqrt{2a-\sqrt{4a-1}}$=$\sqrt{2}$，
∴（$\sqrt{2a+\sqrt{4a-1}}$+$\sqrt{2a-\sqrt{4a-1}}$）²=2，
∴2a+$\sqrt{4a-1}$+2$\sqrt{4{a}^{2}-（4a-1）}$+2a-$\sqrt{4a-1}$=2，
4a+2$\sqrt{4{a}^{2}-4a+1}$=2，
4a+2|2a-1|=2，
要使上式成立，2a-1≤0，解得a≤$\frac{1}{2}$，
在原等式中，4a-1≥0，解得a≥$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子$\sqrt{a}$（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了完全平方公式．