Question

关于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+3=0（k是非零整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），设y=x₂-x₁-2，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到△=（2k-1）²，根据k为整数和非负数的性质得到△＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=

4k+1

k

，x₁•x₂=

3k+3

k

，则根据完全平方公式变形得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

(4k+1)2

k2

-

12k+12

k

=

(2k-1)2

k2

=（2-

1

k

）²，由于k为整数，则2-

1

k

＞0，x₂-x₁=2-

1

k

，从而得出答案．

解答：解：（1）∵k是非零整数，
∴△=[-（4k+1）]²-4k（3k+3）=16k²+8k+1-12k²-12k=4k²-4k+1=（2k-1）²＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=

4k+1

k

，x₁•x₂=

3k+3

k

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

(4k+1)2

k2

-

12k+12

k

=

(2k-1)2

k2

=（2-

1

k

）²，
∵k为整数，
∴2-

1

k

＞0，
而x₁＜x₂，
∴x₂-x₁=2-

1

k

，
∴y=2-

1

k

-2
=-

1

k

（k≠0的整数），
∴y是变量k的函数．

点评：本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，注意：ax²+bx+c=0是一元二次方程的条件是a≠0，当b²-4ac=0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等实数根，当b²-4ac＞0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等实数根，当b²-4ac＜0时，一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根．