Question

11．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交与第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求点A的坐标和两个函数的表达式；
（2）直接写出在第四象限内反比例函数的值小于一次函数值时自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AHO中，通过解直角三角形可求出AH的长度，结合点A在第二象限即可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，进而可得出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数图象的上下位置关系结合交点坐标即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△AHO中，OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，
∴AH=OH•tan∠AOH=4，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为（-4，3）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴k=-4×3=-12，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{12}{x}$．
∵点B（m，-2）在反比例函数y=-$\frac{12}{x}$的图象上，
∴m=-$\frac{12}{-2}$=6，
∴点B的坐标为（6，-2）．
设直线AB的解析式为y=mx+n（m≠0），
将A（-4，3）、B（6，-2）代入y=mx+n中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3=-4m+n}\\{-2=6m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+1．
（2）观察函数图象发现：在第四象限内当0＜x＜6时，反比例函数图象在一次函数图象下方，
∴在第四象限内反比例函数的值小于一次函数值时自变量的取值范围为0＜x＜6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解直角三角形，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．