Question

2．已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，联结PC、PD，点E、F分别是AB和PC的中点，联结EF交PD于点Q．
（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是等腰直角三角形
（2）如图2，当点P在AB的延长线上时，设BP=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当点Q在边BC上时，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，根据等式的性质得到PE=PF，即可得到结论；
（2）延长BA到点M，使得AM=BP，连接CM，根据已知条件得到EM=EP，根据三角形的中位线的性质得到EF=$\frac{1}{2}$MC，根据正方形的性质得到∠MBC=90°，AB=BC，由已知条件得到BM=2+x．根据勾股定理得到MC=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{4+（x+2）^{2}}$，于是得到结论；
（3）当点Q在边BC上时，根据平行线的性质得到∠M=∠QEB，根据全等三角形的性质得到∠M=∠APD，推出QE=QP，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）△QPE的形状是等腰直角三角形，
理由：∵正方形ABCD中，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵点P与点B重合，
∴AP=PC，∠APC=90°，
∵点E、F分别是AB和PC的中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$AP，PF=$\frac{1}{2}$PC，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∵∠ABD=∠CBD，
∴EF⊥PQ，PQ=EQ=FQ，
故答案为：等腰直角三角形；

（2）延长BA到点M，使得AM=BP，连接CM，
∵AE=BE，
∴AE+AM=BE+BP，
即EM=EP，
∵PF=CF，
∴EF=$\frac{1}{2}$MC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBC=90°，AB=BC，
∵AB=2，BP=AM=x，
∴BM=2+x．
∴MC=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{4+（x+2）^{2}}$，
∴EF=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+4x+8}$，
∴y=$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+4x+8}$（x＞0）；

（3）当点Q在边BC上时，由（2）可知EF∥MC，
∴∠M=∠QEB，
∵在△ADP和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠PAD=∠MBC=90°}\\{AP=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△BCM，
∴∠M=∠APD，
∴∠QEB=∠APD，
∴QE=QP，
∵QB⊥PE，
∴BP=BE=$\frac{1}{2}$AB=1．

点评 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．