Question

14．如图，点M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM与BN交于点P，试探索AM与BN的关系．
（1）数量关系AM=BN，并证明；
（2）位置关系AM⊥BN，并证明．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠ABM=∠BCN=90°，AB=BC，由SAS证明△ABM≌△BCN，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAM=∠NBC，由角的互余关系得出∠APB=90°，即可得出AM⊥BN．

解答 （1）解：AM=BN；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABM=∠BCN=90°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABM=∠BCN}&{\;}\\{BM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴AM=BN；故答案为：
（2）解：AM⊥BN；理由如下：
由（1）得：△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠NBC，
∵∠NBC+∠ABN=∠ABC=90°，
∴∠BAM+∠ABN=90°，
在△ABP中，∠APB=180°-（∠BAM+∠ABN）=90°，
∴AM⊥BN；
故答案为：AM⊥BN．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．