Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG．
（1）求证：△AED≌△DFB；
（2）求∠BGD的度数；
（3）求证：DG+BG=CG．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；
（2）根据全等呢个三角形的性质可得∠ADE=∠DBF，再根据三角形内角与外角的关系可得∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°；
（3）延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．构建全等三角形△CDG≌△CBM，然后利用全等三角形的性质来证明CG=DG+BG．

解答：（1）证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
在△AED和△DFB中

AD=BD ∠A=∠BDF AE=DF

，
∴△AED≌△DFB（SAS）；

（2）解：∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠DGB=∠DEB+∠EBG，∠DEB=∠A+∠ADE，
∴∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°；

（3）延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．
∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵

CD=CB ∠CDG=∠CBM DG=BM

，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，以及菱形的性质．本题充分利用了等边三角形的三条边相等和三个内角都是60°的性质．