Question

Rt△AOB在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为原点，点A（0，8），点B（6，0），点P在线段AB上，且AP=6．
（1）求点P的坐标；
（2）x轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：本题需要用到勾股定理以及三角形相似等方面的知识点，在求坐标的时候用方程思想可以更方便些．问题一可直接运用三角形相似求出结果，问题二则需要分情况讨论，Q点坐标不止一个．

解答：解：（1）由勾股定理得AB=10，设p点坐标为（x，y），
则由三角形相似可得

AP

AB

=

x

OB

代入数值可得x=3.6．

AB-AP

AB

=

y

OA

，
解得y=3.2
故P点坐标为（3.6，3.2）．

（2）假设Q点坐标为（q，0），若BP为斜边则q=3.6．
若BQ为斜边，则

BP

OB

=

BQ

AB

，解得BQ=

20

3

，
因为OB=6，
所以q=-

2

3

．
故Q点坐标为（3.6，0）或（-

2

3

，0）．

点评：本题第一问可以直接运用相似性来求得，而第二问则需要分类讨论，这点是容易忽略掉的．