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17.(1)如图(1),△ABC中,分别以AC、BC为边作等边△ACE,等边△BCD,连接AD、BE交于点P,猜想线段AD和BE之间的数量关系是AD=BE,∠BPD的度数为60°.(不必证明)
(2)如图(2),△ABC中,∠ABC=45°,AB=3,BC=5,分别以AC、BC为边作等腰Rt△ACE,等腰Rt△BCD,使AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°,连AD、BE,求BE的长.
(3)如图(3),△ABC中,AC=2,分别以AC、BC为边作Rt△ACE,Rt△BCD,使∠ACE=∠BCD=90°,∠AEC=∠CBD=30°,连接AD、BE、DE,若∠CAD=30°,DE=5,求BE的长.

分析 (1)由等边三角形的性质得出AC=EC,CB=CD,∠ACE=∠BCD进而得出,△ACD≌△ECB(SAS),即可得出AD=BE,∠CAD=∠BE最后利用三角形的内角和即可得出结论;
(2)同(1)的方法得出AD=BE,再判断出△ABD是直角三角形,最后用勾股定理即可求出BE,
(3)先判断出△ADE是直角三角形,求出AD,再判断出点A,B,D,C四点共圆,进而得出,点A在BE上,最后用相似三角形的性质即可得出结论.

解答 解:(1)∵△ACE,△BCD都是等边三角形,
∴AC=CE,BC=CD,∠CAE=∠AEC=∠ACE=∠BCD=60°,
∴∠BCE=∠DCA,
在△ACD和△ECB中,$\left\{\begin{array}{l}{AC=EC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{CB=CD}\end{array}\right.$,
∴△ACD≌△ECB(SAS),
∴AD=BE,∠CAD=∠BEC,
∵∠BEC+∠AEB=∠AEC=60°,
∴∠CAD+∠AEB=60°,
∠DAE+∠AEB=∠CAD+∠CAE+∠AEB=(∠CAD+∠AEB)+∠CAE=60°+60°=120°,
∴∠APE=180°-(∠DAE+∠AEB)=60°,
故答案为:AD=BE,60°;

(2)∵∠ACE=∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠ECB,
在△ACD和△ECB中,$\left\{\begin{array}{l}{AC=EC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{CB=CD}\end{array}\right.$,
∴△ACD≌△ECB(SAS),
∴AD=BE,
∵等腰Rt△BCD,BC=CD,∠BCD=90°,
∴∠CBD=45°,
∵∠ABC=45°,
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°,
在等腰Rt△BCD中,BC=5,
∴BD=5$\sqrt{2}$,
在Rt△ABD中,AB=3,BD=5$\sqrt{2}$,
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{59}$,
∴BE=$\sqrt{59}$;

(3)如图,在Rt△ACE中,AC=2,∠AEC=30°,
∴∠CAE=90°-∠AEC=60°,CE=$\sqrt{3}$AC=2$\sqrt{3}$,AE=2AC=4,
∵∠CAD=30°,
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=90°,
在Rt△ADE中,AE=4,DE=5,
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}-A{E}^{2}}$=3,
∵∠CAD=∠CBD=30°,
∴点A,B,D,C四点共圆,
∴∠BAD=∠BCD=90°,
∵∠DAE=90°,
∴∠BAD+∠DAE=180°,
∴点B,A,E在同一条直线上,
即:点A在BE上,如图1,
∵∠ACE=∠BCD=90°,
∴∠BCE=∠DCA,
∵∠AEC=∠CAD=30°,
∴△BCE∽△DCA,
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{CE}{AC}$,
∴$\frac{BE}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$,
∴BE=3$\sqrt{3}$,

点评 此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等边三角形,等腰直角三角形的性质,直角三角形的判定,四点共圆,三点共线,勾股定理等多个知识点,判断出△ACD≌△ECB(SAS)是解本题的关键,得出点B,A,E在同一条直线上是解本题的难点,此题用到类比的数学思想,是一道很好的中考压轴题.

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