Question

16．定义[p，q]为一次函数y=px+q的特征数．
（1）若特征数为[2，k-2]的一次函数为正比例函数，求k的值；
（2）已知直角坐标系中点A（1，3），点B（4，0），求图象过A、B两点的一次函数的特征数；
（3）在（2）的条件下，若原点O与A、B、C构成的四边形为平行四边形，求所有符合条件的点C的坐标．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）由特征数的定义可用k表示出一次函数的解析式，利用正比例函数过原点可求得k的值；
（2）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得一次函数的解析式，则可求得其特征数；
（3）由A、B两点的坐标，可求得AO、BO、AB的长，分AO、BO、AB分别为对角线，设出C点坐标，由平行四边形的性质可分别得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标．

解答 解：
（1）∵特征数为[2，k-2]，
∴一次函数解析式为y=2x+k-2，
∵该一次函数为正比例函数，
∴k-2=0，解得k=2；

（2）将A（1，3），点B（4，0）代入y=px+q，可得$\left\{\begin{array}{l}{p+q=3}\\{4p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-x+4，
∴特征数是[-1，4]；

（3）∵A（1，3），点B（4，0），
∴AO=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BO=4，AB=$\sqrt{（4-1）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
设C（x，y），
当AO为四边形的对角线时，则有AC∥OB且AC=OB，此时点C在A点的左侧，
∴AC=1-x，
∴1-x=4，y=3，解得x=-3，
∴C（-3，3）；
当BO为对角线时，可知AC过OB的中点（2，0），
∴x+1=2×2=4，3+y=0，解得x=3，y=-3，
∴C（3，-3）；
当AB为对角线时，则有AC∥OB且AC=OB，此时点C在A点的右侧，
∴AC=x-1
x-1=4，解得x=5，
∴C（5，3）；
综上可知C点坐标为（5，3）或（-3，3）或（3，-3）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、新定义、正比例函数的定义、平行四边形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）（2）中理解题目中所给特征数的定义是解题的关键，在（3）中确定出C点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．