分析 （1）把A，B的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于a，b的方程组，求的a，b的值，则抛物线的解析式即可求解；
（2）连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）首先设F的坐标为（c，0），求得BC与CF的长，由平行线分线段成比例定理，求得FG的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得FC2=BC•FG，则可得到关于c的一元二次方程，解方程即可求得答案．
解答 解：（1）由已知有：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式是：y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）令D（x，y），（x＞0，y＞0），
则E（x，0），M（$\frac{1}{2}$x，0），由（1）知C（0，4）如图1
，连接MC、MD，
∵DE、CD与⊙O相切，
∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，
∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，
∴$\frac{CO}{ME}$=$\frac{OM}{ED}$，
∴$\frac{4}{\frac{x}{2}}$=$\frac{\frac{x}{2}}{y}$，
又∵D点在抛物线上，满足解析式y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4，
∴x=$\frac{12±4\sqrt{29}}{5}$，
又∵x＞0，
∴x=$\frac{12+4\sqrt{29}}{5}$，
则E点的坐标是：（$\frac{12+4\sqrt{29}}{5}$，0）．
（3）存在．
∵BC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
设F（c，0），
∵FG∥BC，
∴$\frac{FG}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$，
即$\frac{FG}{4\sqrt{5}}$=$\frac{c+2}{10}$，
∴FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（c+2），CF=$\sqrt{{c}^{2}+{4}^{2}}$，
要使△BCF∽△CFG，
需$\frac{CF}{BC}$=$\frac{FG}{FC}$，即FC2=BC•FG，
可得：16+c2=4$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（c+2），
解得：c=0或c=8（与B重合舍去）．
则F（0，0），
当x=0时，y=-$\frac{1}{4}$×02+$\frac{3}{2}$×0+4=4．
故存在点P的坐标为（0，4）．
点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识，正确求得当CD与⊙M相切时D点的坐标是关键．
心算口算巧算一课一练系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形OCBA绕点C逆时针旋转角度一个锐角度数α，得到正方形DCFE，ED交线段AB与点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（-2，0）、（0，4）．动点P从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C以每秒2个单位的速度在y轴上从点B出发运动到点O停止，点C停止运动时点P也随之停止运动．以CP、CO为邻边构造平行四边形PCOD，在线段OP的延长线长取点E，使得PE=2．设点P的运动时间为t秒．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 27π | B． | $\frac{27}{4}$π | C． | 9π | D． | $\frac{9}{4}$π |
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
| 购买香梨的数量/kg | 每千克价格/元 |
| 不超过10kg | 6元 |
| 10kg以上但不超过20kg | 5元 |
| 20kg以上 | 4.6元 |
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如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AE∥DF．