Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点M、N同时从点A出发，M点按折线A→C→B→A的路径以3cm/s的速度运动，N点按折线A→C→D→A的路径以2cm/s的速度运动．运动时间为t（s），当点M回到A点时，两点都停止运动．

（1）求对角线AC的长度；
（2）经过几秒，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
（3）设△CMN的面积为s（cm²），求：当t＞5时，s与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质，利用勾股定理得AC的长；
（2）根据当点M回到A点时，两点都停止运动可得t的取值范围，利用分类讨论的思想，①当0≤t≤5时，点A、C、N三点共线，点A、C、M、N无法构成四边形；
②当5≤t≤6时，点M在BC边上，点N在CD边上，点A、C、M、N为顶点的四边形不可能是平行四边形；③当6＜t≤8时，点M在AB边上，点N在CD边上，AM∥CN，由平行四边形的判定定理知，当AM=CN时，易得t；
（3）当t＞5时，S与t的函数关系式分为两种情况：①当5＜t≤6时，点M在BC边上，点N在CD边上，CM=3t-10，CN=2t-10，利用三角形的面积公式可得△CMN的面积；②当6＜t≤8时，点M在AB边上，点N在CD边上，易得△CMN的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm）；

（2）∵由题意可得：0≤t≤8，对t进行如下分类讨论：
①当0≤t≤5时，点A、C、N三点共线，点A、C、M、N无法构成四边形，因此舍去；
②当5≤t≤6时，点M在BC边上，点N在CD边上，
点A、C、M、N为顶点的四边形不可能是平行四边形，因此舍去；
③当6＜t≤8时，点M在AB边上，点N在CD边上，AM∥CN，
∴当AM=CN时，四边形AMCN为平行四边形，即24-3t=2t-10，解得t=6.8，
综上所述，当t=6.8时，点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）当t＞5时，S与t的函数关系式分为两种情况：
①如图1，当5＜t≤6时，点M在BC边上，点N在CD边上
△CMN的面积S=$\frac{CM•CN}{2}$=$\frac{（3t-10）（2t-10）}{2}$=3t²-25t+50；
②如图2，当6＜t≤8时，点M在AB边上，点N在CD边上，
△CMN的面积S=$\frac{BC•CN}{2}$=$\frac{8（2t-10）}{2}$=8t-40．

点评 本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，平行四边形的判定定理，找准界点，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．