Question

17．如图，直线l：y=x+1交y轴于点A₁，在x轴正方向上取点B₁，使OB₁=OA₁；过点B₁作A₂B₁⊥x轴，交l于点A₂，在x轴正方向上取点B₂，使B₁B₂=B₁A₂；过点B₂作A₃B₂⊥x轴，交l于点A₃，在x轴正方向上取点B₃，使B₂B₃=B₂A₃；…记△OA₁B₁面积为S₁，△B₁A₂B₂面积为S₂，△B₂A₃B₃面积为S₃，…则S₂₀₁₇等于（　　）

• A． 2⁴⁰³⁰
• B． 2⁴⁰³¹
• C． 2⁴⁰³²
• D． 2⁴⁰³³

Answer 1

分析 根据已知条件得到△△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，根据最新的解析式得到A₁（0，1），求得B₁（1，0），得到OB₁=OA₁=1，根据三角形的面积公式得到S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$×1²，同理S₂=$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}×$2²，S₃=$\frac{1}{2}×$4×4=$\frac{1}{2}×$4²；…得到S_n=$\frac{1}{2}×$2^2n-2=2^2n-3，于是得到结论．

解答 解：∵OB₁=OA₁；过点B₁作A₂B₁⊥x轴，B₁B₂=B₁A₂；A₃B₂⊥x轴，B₂B₃=B₂A₃；…
∴△△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∵y=x+1交y轴于点A₁，
∴A₁（0，1），
∴B₁（1，0），
∴OB₁=OA₁=1，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$×1²，
同理S₂=$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}×$2²，S₃=$\frac{1}{2}×$4×4=$\frac{1}{2}×$4²；…
∴S_n=$\frac{1}{2}×$2^2n-2=2^2n-3，
∴S₂₀₁₇=2^2×2017-3=2⁴⁰³¹，
故选B．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．