Question

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动(不与点B重合)，点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

(1)求证：△DHQ∽△ABC；

(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

(3)当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB， 　　∴∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA， 　　∴∠HDQ＝∠A，　　3分 　　∴△DHQ∽△ABC．　　1分 　　(2)①如图，当0＜x≤2.5时， 　　ED＝10－4x，QH＝AQtan∠A＝， 　　此时(10－4x)×x＝－＋．　　3分 　　当x＝时，最大值y＝． 　　②如图2，当2.5＜x≤5时， 　　ED＝4x－10，QH＝AQtan∠A＝x， 　　此时y＝(4x－10)×x＝x2－x．　　2分 　　当x＝5时，最大值y＝． 　　∴y与x之间的函数解析式为 　　y的最大值是．　　1分 　　(3)①如图1，当0＜x≤2.5时， 　　若DE＝DH，∵DH＝AH＝x，DE＝10－4x， 　　∴10－4x＝x，x＝． 　　显然ED＝EH，HD＝HE不可能；　　1分 　　②如图2，当2.5＜x≤5时， 　　若DE＝DH，4x－10＝x，x＝；　　1分 　　若HD＝HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x＝5；　　1分 　　若ED＝EH，则△EDH∽△HDA， 　　∴，，．　　1分 　　∴当x的值为，，5，时，△HDE是等腰三角形．(其他解法相应给分)