Question

方程组

y2=x3-3x2+2x     ① x2=y3-3y2+2       ②

的解是

 

．

Answer 1

考点：高次方程,一元二次方程的应用

专题：方程思想,因式分解

分析：观察方程组

y2=x3-3x2+2x     ① x2=y3-3y2+2       ②

对于x、y具有同等的位置，因而将①-②通过提取公因式因式分解得到（x-y）（x²+xy+y²-2x-2y+2）=0．再考虑每个因式是否能够等于0，对于x-y=0，可以，因而代入方程，可求得x的结果；对于x²+xy+y²-2x-2y+2=0可看做是关于x的一元二次方程，根据判别式△，先判定x是否存在．至此问题得解．

解答：解：①-②得（x-y）（x²+xy+y²-2x-2y+2）=0   ③，
将方程x²+xy+y²-2x-2y+2=0整理成关于x的方程，得x²+（y-2）x+（y²-2y+2）=0，
∵△=(y-2)2-4(y2-2y+2)=-3y2+4y-4=-3[(y-

2

3

)2+

8

9

]＜0，
∴此方程无实根，即x²+xy+y²-2x-2y+2≠0，
∴由③得x=y，代入①得x1=0，x2=2+

2

，x3=2-

2

.，
∴原方程组之解为

x1=0 y1=0

，

x2=2+ 2 y2=2+ 2

，

x3=2- 2 y3=2- -2

，
故答案为：

x1=0 y1=0

，

x2=2+ 2 y2=2+ 2

，

x3=2- 2 y3=2- -2

．

点评：本题考查高次方程的求解、一元二次方程的应用．对于高次方程往往是通过因式分解达到降次，讨论每个因式的解，这是一种解决高次方程的很好方法．