Question

已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．

（1）当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
（2）当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连接AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析：（1）利用量角器测量即可；
（2）连接BC，根据弦切角与它所夹弧所对的圆周角的关系，可以判断∠1=∠A，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和求出各角之间的关系．

解答：解：（1）测量结果：∠CDP=45°，图2中的测量结果：∠CDP=45°，图3中的测量结果：∠CDP=45°．

（2）猜想：∠CDP=45°为确定的值，∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．
证法一：连接BC
∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90°
∵PC切⊙O于点C
∴∠1=∠A
∵PD平分∠APC
∴∠2=∠3
∵∠4=∠1+∠2，∠CDP=∠A+∠3
∴CDP=45°
∴猜想正确．
证法（二）：连接OC
∵PC切⊙O于点C
∴PC⊥OC
∴∠1+∠CPO=90°
∵PD平分∠APC
∴∠2=

1

2

∠CPO
∵OA=OC
∴∠A=∠3
∵∠1=∠A+∠3
∴∠A=

1

2

∠1
∴∠CDP=∠A+∠2=

1

2

（∠1+∠CPO）=45°
∴猜想正确．

点评：此题是一道探索性题目，先进行测量，根据测量结果进行推测，然后根据弦切角定理和三角形内角与外角的关系进行证明．