Question

9．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，原题设其它条件不变．求证：∠CAD=∠CBF；
（3）在（2）的条件下，连接CE，若∠BAC=45°，判断△CFE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件证明△ABE≌△ACE即可；
（2）利用垂直的定义可求得∠CAD+∠C=∠CBF+∠C=90°，可证得结论；
（3）由条件可证明△AEF≌△BCF，可得AF=BF，可得出结论．

解答 证明：
（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAE=∠CAE\\ AE=AE\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBF；

（3）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
在△AEF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠EAF=∠CBF\\ AF=BF\\∠AFE=BFC\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴EF=CF，
∵∠CFE=90°，
∴△CFE为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应角、对应边相等）是解题的关键．