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4.如图,△ABC中,点O在边BC上,OD垂直平分BC,AD平分∠BAC,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.
求证:BM=CN.

分析 连DB、DC,根据角平分线性质得DM=DN;根据垂直平分线的性质得DB=DC;再根据“HL”定理证明Rt△EFB≌Rt△EGC,从而得BM=CN.

解答 证明:连接BD,CD,如图,
∵O是BC的中点,DO⊥BC,
∴OD是BC的垂直平分线,
∴BD=CD,
∵AD是∠BAC的平分线,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN,
在Rt△BMD和Rt△CND中,$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DM=DN}\end{array}\right.$,
∴Rt△BMD≌Rt△CND(HL),
∴BM=CN.

点评 本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质,利用了三角形全等的判定和性质解题.正确作出辅助线是解答本题的关键,属于中考常考题型.

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