Question

12．我们已知sin30°=$\frac{1}{2}$，其求法是构造如图1所示的Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么sin30°=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，在此基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值．
（1）如图2所示，延长CB至点D，是DB=BA，连接AD，在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，CD=BD+BC，易得BC=$\sqrt{3}$，故CD=2+$\sqrt{3}$，所以在在Rt△ACD中，tan∠ADC=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，因为∠ABC=30°，且AB=BD，故∠D=15°，所以tan15°=2-$\sqrt{3}$．
（2）请根据上述材料介绍的方法，求tan75°的值．

Answer 1

分析 （1）延长CB至点D，是DB=BA，连接AD，在Rt△ABC中，求得BC=$\sqrt{3}$，于是得到CD=1$+\sqrt{3}$，在Rt△ACD中，根据三角函数的定义得到tan∠ADC=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$根据等腰三角形的性质得到∠D=15°，即可得到结论；
（2）先作△BCD，使∠C=90°，∠DBC=30°，延长CB到A，使AB=BD，连接AD，得出∠ADC=75°，设CD=x，用含x的代数式表示出AB、BD、BC，进一步表示出AC．根据tan∠ADC=tan75°=AC：CD求解．

解答 解：（1）延长CB至点D，是DB=BA，连接AD，
在Rt△ABC中，AC=1，AB=2，CD=BD+BC，
易得BC=$\sqrt{3}$，故CD=2$+\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，
tan∠ADC=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，
因为∠ABC=30°，且AB=BD，
故∠D=15°，
所以tan15°=2-$\sqrt{3}$
故答案为：$\sqrt{3}$，2$+\sqrt{3}$，$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，2-$\sqrt{3}$，15°，2-$\sqrt{3}$．

（2）如图，作△BCD，使∠C=90°，∠DBC=30°，延长CB到A，使AB=BD，连接AD．
∵AB=BD，∴∠A=∠ADB．
∵∠DBC=30°=2∠A，
∴∠A=15°，∠ADC=75°．
设CD=x，
∴AB=BD=2CD=2x，BC=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$x，
∴AC=AB+BC=（2+$\sqrt{3}$）x，
∴tan∠ADC=tan75°=AC：CD=2+$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是作出含75°角的直角三角形，然后在直角三角形中求解，要求学生有较强逻辑推理能力和运算能力．