Question

知识背景:杭州留下有一处野生古杨梅群落,其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品.在当地市场出售时,基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍,如图)

（1）实际运用:如果要求纸箱的高为0.5米,底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比,取黄金比为0.6),体积为0.3立方米.

①按方案1(如图)做一个纸箱,需要矩形硬纸板的面积是多少平方米？

②小明认为,如果从节省材料的角度考虑,采用方案2(如图)的菱形硬纸板做一个纸箱比方案1更优,你认为呢？请说明理由.

 

（2）拓展思维:城西一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”,但他感觉（1）中的纸箱体积太大,搬运吃力,要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半,你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证.

【解析】（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6，假设底面长为x，宽就为0.6x，再利用图形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可；

②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案；

（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可

 

Answer 1

解:（1）设纸箱底面的长为x,则宽为0.6x,

根据题意得,0.6x²×0.5＝0.3,即x＝1.

①＝(1＋0.5×4)×(0.6×2＋0.5×2)＝6.6(平方米).

②如图,连接A₂C₂,B₂D₂相交于O₂,

设△D₂EH中EH边上的高为h₁,

△A₂NM中NM边上的高为h₂,

由△D₂EH∽△D₂MQ得

,∴h₁＝0.4,

同理得,h₂＝,

∴A₂C₂＝,B₂D₂＝3,

又四边形A₂B₂C₂D₂是菱形.

故＝5.625(平方米)

＜,

所以方案2更优.

（2）水果商的要求不能办到.

设底面的长与宽分别为x、y,

则x＋y＝0.8,xy＝0.3,

即y＝0.8－和y＝,其图象如图所示.

因为两个函数图象无交点,故水果商的要求无法办到.(说明:不画图象,由方程的判别式判断,不给满分)