Question

12．如图1，在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线表达式为y=-$\frac{3}{5}$x+3．
（1）在x轴的正半轴上找出点M，使△AMB为等腰三角形，并求出所有符合要求的点M的坐标；
（2）如图2，把△AOC沿对角线AC折叠（使△ACE和△ABC落在同一平面内），CE交AB于点F．
①试判断△ACF的形状，并说明理由；
②求重叠部分△ACF的面积；
③求直线CE的表达式．

Answer 1

分析 （1）分四种情形，分别讨论求解即可．
（2）①结论：△AFC是等腰三角形．只要证明∠FAC=∠FCA即可．
②设AF=FC=x，在Rt△BCF中，由FC²=BF²+BC²，可得x²=（5-x）²+3²，解方程即可解决问题．
③求出点F、C坐标，理由待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵对角线AC所在直线表达式为y=-$\frac{3}{5}$x+3，
∴A（0，3），C（5，0），
∵四边形AOCB是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=BC=3，OC=AB=5，
①当BA=BM₁时，在Rt△BCM₁中，CM₁=$\sqrt{B{{M}_{1}}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴M₁（1，0）．
②当AM₂=BM₂时，易知M₂（$\frac{5}{2}$，0）．
③当AM₃=AB时，可得OM₃=4，
∴M₃（4，0）．
④当BM₄=AB时，CM₄=4，
∴M₄（9，0）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，0）或（$\frac{5}{2}$，0）或（4，0）或（9，0）．


（2）如图2中，

①结论：△AFC是等腰三角形．
理由：∵△ACE是由△AOC翻折得到，
∴∠ACO=∠ACE，
∵AB∥OC，
∴∠FAC=∠ACO，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC．
②设AF=FC=x，在Rt△BCF中，∵FC²=BF²+BC²，
∴x²=（5-x）²+3²，
∴x=$\frac{17}{5}$，
∴S_△FCA=$\frac{1}{2}$•AF•CB=$\frac{1}{2}$×$\frac{17}{5}$×3=$\frac{51}{10}$．

③∵F（$\frac{17}{5}$，3），C（5，0），
设直线CF的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{17}{5}k+b=3}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{15}{8}}\\{b=\frac{75}{8}}\end{array}\right.$，
∴直线CF的解析式为y=-$\frac{15}{8}$x+$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查一次函数综合题、待定系数法、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用福利讨论的思想思考问题，灵活运用待定系数法，属于中考常考题型．