Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．

（1）求证：CG是⊙O的切线 （2）若CD=6，求GF的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°-∠D-∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；
（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．

试题解析：（1）证明：连接OC．

∵OC=OD，∠D=30°，
∴∠OCD=∠D=30°．
∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°-∠D-∠G=120°．
∴∠GCO=∠DCG-∠OCD=90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=CD=3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，
∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．
设EO=x，则CO=2x．
∴（2x）2=x2+32．
解得x=±（舍负值）．
∴CO=2．
∴FO=2．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，
∴GO=2CO=4．
∴GF=GO-FO=2．