Question

19．如图，Rt△ACB，∠ACB=90°，将△ACB绕点C顺时针旋转α（0＜α＜180）度后，得到△DCE（点A的对应点是点D，点B的对应点是点E），连接AD，BE．若∠BED=α°，∠DAB=50°，则α的值是20°．

Answer 1

分析 先利用旋转的性质得∠ACD=∠BCE=α，∠CED=∠CBA，CA=CD，CE=CB，再在△CAD中，根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得到∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，则∠CAB=∠CAD-∠DAB=40°-$\frac{1}{2}$α；同理可得∠CED=∠CEB-∠BED=90°-$\frac{3}{2}$α，则∠CBA=90°-$\frac{3}{2}$α；然后在△ABC中，根据三角形内角和定理得到40°-$\frac{1}{2}$α+90°-$\frac{3}{2}$α=90°，再解关于α的方程即可．

解答 解：∵△ACB绕点C顺时针旋转α（0＜α＜180）度后，得到△DCE（点A的对应点是点D，点B的对应点是点E），
∴∠ACD=∠BCE=α，∠CED=∠CBA，CA=CD，CE=CB，
在△CAD中，∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACD）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠CAB=∠CAD-∠DAB=90°-$\frac{1}{2}$α-50°=40°-$\frac{1}{2}$α；
在△CBE中，∵CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE=$\frac{1}{2}$（180°-∠BCE）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠CED=∠CEB-∠BED=90°-$\frac{1}{2}$α-α=90°-$\frac{3}{2}$α；
∴∠CBA=90°-$\frac{3}{2}$α；
在△ABC中，∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴40°-$\frac{1}{2}$α+90°-$\frac{3}{2}$α=90°，
∴α=20°．
故答案为20°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．