Question

（2013•山西模拟）已知关于x的方程x²-2mx+n²=0
（1）若m从0，1，2，3四个数任意取一个数，n从0，1，2三个数任意取一个数，则方程有实数根的概率是多少？
（2）当m=2，n=1时，解此方程．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△的意义得到当△＞0时，即4m²-4n²≥0，关于x的方程x²-2mx+n²=0有实数根，则m²≥n²；然后画树状图展示m从0，1，2，3四个数任意取一个数，n从0，1，2三个数任意取一个数的所有等可能的结果数为12，其中满足m²≥n²占9种，再根据概率的定义计算即可；
（2）把m=2，n=1代入方程得到x²-4x+1=0，配方得到（x-2）²=3，然后利用直接开平方法解方程即可．

解答：解：（1）∵关于x的方程x²-2mx+n²=0有实数根，
∴△＞0，即4m²-4n²≥0，
∴m²≥n²，
画树状图：
m从0，1，2，3四个数任意取一个数，n从0，1，2三个数任意取一个数，共有12种等可能的结果，
其中满足m²≥n²占9种，
所以方程有实数根的概率=

9

12

=

3

4

；
（2）当m=2，n=1时，方程为：x²-4x+1=0，
x²-4x+4=3，
∴（x-2）²=3，
∴x-2=±

3

，
∴x₁=2+

3

，x₂=2-

3

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了不等式的解法．