Question

【题目】在矩形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接所得的四边形我们称之为中点四边形，如图．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）设的中点四边形是，的中点四边形是…．的中点四边形是，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？　　（填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性　　；

（3）进一步：如果我们规定：矩形，菱形，并将矩形的中点四边形用表示；菱形的中点四边形用表示，由题（1）知，，那么　　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形；（3）菱形的中点四边形为矩形可以表示为：．

【解析】

（1）因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
（2）仔细观察，发现这两个四边形互为中点四边形．
（3）根据上题总结的规律可以得到菱形的中点四边形为矩形．

（1）证明：连接、，

点、、、分别是边、、、的中点，

，同理，，，

又在矩形中，，

，

四边形是菱形．

（2）解：有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形．

（3）解：矩形的中点四边形为菱形，

即：，

菱形的中点四边形为矩形可以表示为：．