Question

17．已知|x+2|+|3-x|=8-|y-2|-|1+y|，求x+y的最大值与最小值．

Answer 1

分析 先确定x、y的取值范围，再分类讨论．

解答 解：因为x+2=0，3-x=0时，x=-2或者3，y-2=0，1+y=0时，y=2或者-1．
当x＜-2时，|x+2|+|3-x|=-x-2+3-x=-2x+1；当-2＜x＜3时，|x+2|+|3-x|=x+2+3-x=5；当x＞3时，|x+2|+|3-x|=x+2+x-3=2x-1；
当y＜-1时，|y-2|+|1+y|=2-y-1-y=-2y+1；当-1＜y＜2时，|y-2|+|1+y|=2-y+1+y=3；当y＞2时，|y-2|+|1+y|=y-2+1+y=2y-1；
由于|x+2|+|3-x|=8-|y-2|-|1+y|，可变形为|x+2|+|3-x|+|y-2|+|1+y|=8，
所以-2x+1-2y+1=8，即x+y=-3；-2x+1+3=8，即x=-4；-2x+1+2y-1=8，即x-y=-4；5-2y+1=8，即y=-1；5+3=8；5+2y-1=8，即y=2；2x-1-2y+1=8，即x-y=4；2x-1+3=8，即x=3；2x-1+2y-1=8，即x+y=5．
所以x+y的最大值是5，最小值是-3．

点评 本题考查了绝对值的概念及一次方程，找到重要点，能够正确的分类是解决问题的关键．