Question

如图1，已知，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，点P是CE的延长线上任意一点，BG⊥AP，
求证：（1）△AEP∽△DEB；（2）CE²=ED•EP．
若点P在线段CE上或EC的延长线上时（如图2和图3），上述结论CE²=ED•EP还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（图2和图3挑选一张给予说明即）

Answer 1

分析：（1）根据等角的余角相等可以证明∠P=∠DBE，从而根据两个角对应相等可以证明两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质进行证明．

解答：证明：（1）∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，
∴∠P=∠DBE，
又∠AEP=∠DEB=90°，
∴△AEP∽△DEB；

（2）选图2．成立，理由如下：
∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
∴

CE

AE

=

BE

CE

，
即CE²=AE•BE．
和（1）中的证明同理，得△AEP∽△DEB，
∴

AE

ED

=

EP

BE

，
即AE•BE=ED•EP，
∴BE=

ED•EP

AE

，即AE•BE=ED•EP，
又CE²=AE•BE，
∴CE²=ED•EP．

点评：此题综合运用了相似三角形的判定和性质．注意：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．