Question

14．（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：AD²+BC²=AB²+CD²；
（2）两个正方形ABCD和AEFG，AB=3，AE=2，连接BG，DE．
①当D，G，F在一条直线上，如图2，连接BE，求BE的长；
②当D，G，A在一条直线上，如图3，设BG，CD的延长线交于H，连接EH，求EH的长．

Answer 1

分析 （1）由垂线的性质得出∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得出AD²+BC²=AO²+DO²+BO²+CO²；AB²+CD²=AO²+BO²+CO²+DO²；即可得出结论；
（2）①由正方形的性质得出AB∥CD，∠BAD=∠EAG=90°，AB=AD，AG=AE，证出∠BAG=∠DAE，由SAS证明∴△BAG≌△DAE（SAS），得出∠ABG=∠ADE，由角的互余关系和对顶角相等证出BG⊥DE，连接BD、EG，由（1）得：BD²+EG²=DG²+BE²；由勾股定理得出BD²=18，EG²=8，DG²=5，求出BE²=18+8-5=21，得出BE=$\sqrt{21}$；
②连接BD，同（1）得：BH⊥DE，得出BD²+CH²=BE²+DH²；证明△DHG∽△ABG，得出对应边成比例$\frac{DH}{DG}=\frac{AB}{AG}$，求出DH=$\frac{3}{2}$，即可得出CH的长．

解答 （1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得：AD²+BC²=AO²+DO²+BO²+CO²；AB²+CD²=AO²+BO²+CO²+DO²；
∴AD²+BC²=AB²+CD²；
（2）解：①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB∥CD，∠BAD=∠EAG=90°，AB=AD，AG=AE，
∴∠BAG=∠DAE，
在△BAG和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠DAE}&{\;}\\{AG=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△DAE（SAS），
∴∠ABG=∠ADE，
∵∠ABG+∠AMB=90°，∠AMB=∠DMG，
∴∠ADE+∠DMG=90°，
∴BG⊥DE，
连接BD、EG，如图2所示：
由（1）得：BD²+EG²=DG²+BE²；
∵BD²=3²+3²=18，EG²=2²+2²=8，DG²=3²-2²=5，
∴BE²=18+8-5=21，
∴BE=$\sqrt{21}$；
②连接BD，如图3所示：
同（1）得：BH⊥DE，
∴BD²+CH²=BE²+DH²；
∵BD=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，BE=3+2=5，DG=3-2=1，
∵AB∥CD，
∴△DHG∽△ABG，
∴$\frac{DH}{DG}=\frac{AB}{AG}$，
即$\frac{DH}{1}=\frac{3}{2}$，
解得：DH=$\frac{3}{2}$，
∴CH²=BE²+DH²-BD²=25+$\frac{9}{4}$-18=$\frac{37}{4}$，
∴CH=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．