Question

10．如图，过⊙O外一点P向⊙O作两条切线，切点分别为A、B，若⊙O的半径为2，∠APB=60°，则图中阴影部分的面积为4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

Answer 1

分析 连接OA、OB，OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，则根据四边形内角和得到∠AOB=180°-∠APB=120°，再在Rt△PAO中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，则S_△PAO=2$\sqrt{3}$，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S_{四边形AOBP}-S_扇形AOB进行计算．

解答 解：连接OA、OB，OP，如图，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，
在Rt△PAO中，∵OA=2，∠APO=30°，
∴AP=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=S_{四边形AOBP}-S_扇形AOB
=2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．
故答案为4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．会利用面积的和差计算不规则图形的面积．