Question

18．如图，等腰直角三角形OAB中，∠AOB=90°，AB=1，在△OAB中作内接正方形A₁B₁C₁D₁；在等腰直角三角形OA₁B₁中，作内接正方形A₂B₂C₂D₂；在等腰直角三角形OA₂B₂中，作内接正方形A₃B₃C₃D₃…；依次作下去，则第n个正方形A_nB_nC_nD_n的面积是$\frac{1}{{9}^{n}}$．

Answer 1

分析 过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A₁B₁于点N，由三角形OAB与三角形OA₁B₁都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A₁B₁的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A₁B₁的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长，于是得到结论．

解答 解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A₁B₁于点N，如图所示：
∵A₁B₁∥AB，
∴ON⊥A₁B₁，
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
又∵△OA₁B₁为等腰直角三角形，
∴ON=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1个正方形的边长A₁C₁=MN=$\frac{2}{3}$OM=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
同理第2个正方形的边长A₂C₂=$\frac{2}{3}$ON=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$，
则第n个正方形A_nB_nD_nC_n的边长为：$\frac{1}{{3}^{n}}$．
∴第n个正方形A_nB_nC_nD_n的面积是（$\frac{1}{{3}^{n}}$）²=$\frac{1}{{9}^{n}}$
故答案为：$\frac{1}{{9}^{n}}$．

点评 此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．